[144275]京大も阪大も今年「ねじれの位置を出題」で

( 144278 ) 2024/02/29 14:43:28

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京都大学（左）と大阪大学（左写真：りえ／PIXTA、右写真：けいわい／PIXTA）

数学を使った世の中の仕組みを知ることで、物事を見る視野が広がります。今回は中学数学で学ぶ「ねじれの位置」について、現役東大生の永田耕作さんが解説します。

【図で見る】この直方体のどこが「ねじれの位置」かわかりますか？

■「ねじれの位置」は中学1年生の数学で学ぶ

　2月25～26日に国公立大学の2次試験の前期日程が行われました。そこで話題になった数学の問題がありました。京都大学、大阪大学で「ねじれの位置」に関する問題が出されたのです。とくに大阪大学では、ねじれの位置のそのものの定義、あり方を問うような問題となっていました。

　「ねじれの位置」は、中学1年生の数学で学習する単元になります。そのため、問題のレベルとしてはそこまで高くありません。

　が、多くの受験生は高校で使用した教科書や参考書を用いて受験対策を行います。だからこそ、多くの受験生にとってノーマークであり、「定義を忘れた」「なんとなくわかるけど証明ができない」と問題の難しさを嘆く声が相次いで挙がりました。

　この「ねじれの位置」、実は世の中にあふれているのです。まず、ねじれの位置の定義を確認しましょう。一言で説明すると「平行でもなく、交わってもいない2つの直線の位置関係」です。といっても、言葉ではあまりピンとこないと思うので、直方体を使って考えてみましょう。

　※外部配信先では図を閲覧できない場合があります。その際は東洋経済オンライン内でお読みください

　まず辺ABと「平行」な辺を考えてみると、辺DC、そして辺EFが見つかります。少しわかりにくいかもしれませんが、辺HGも該当します。このように、辺ABと平行な辺は、辺DC、辺EF、辺HGの3つになります。

　次に辺ABと「交わる」辺はどうなるか考えてみましょう。これは非常にシンプルで、点Aで交わっているものが辺AEと辺AD、そして点Bで交わっているものが辺BCと辺BFであることが図からわかります。よって、辺ABと交わる辺は辺AE、辺AD、辺BC、辺BFの4つになります。

　このどちらにも登場しなかった辺がありますよね。例えば、辺DHを見てみましょう。この辺は辺ABと平行でなく、交わってもいません。このような辺のことを、「ねじれの位置」と言うのです。他にも、辺CG、辺FG、辺EHも辺ABとねじれの位置の関係になります。

　これで直方体にある12個の辺すべてが登場しました。ここからわかるとおり、2つの直線の関係は、「平行」「交わる」「ねじれの位置」の3種類しかないのです。

■ねじれの位置は2次元には存在しない

　そもそも、ねじれの位置は平面上、つまり2次元には存在しません。実際に紙に直線を書いてみたり、頭の中でイメージしてみたりするとわかりやすいのですが、同じ平面上にある2つの直線は、平行でない場合は必ずどこかで交わります。2つの直線の間の距離が少しずつ縮まっていき、どこかで0になるからです。

　少しも縮まらない場合は、それはまさに平行であることを意味します。だからこそ、ねじれの位置にある2つの直線は、「同じ平面上には存在しない」のです。

　ねじれの位置についてわかっていただけたところで、今年の大阪大学の入試問題を見てみましょう。

問題:座標空間の直線lとz軸はねじれの位置にあるとする。lとz軸の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ

　これは実はとても興味深い問題なのです。X(旧ツイッター)でも問題に対する反応や考察が相次いで投稿され、トレンドにも入るほどの盛り上がりを見せました。

■共通垂線を扱う問題はたびたび登場していたが…

　もともと高校数学において、ねじれの位置にある2つの直線の「共通垂線」を扱う問題はたびたび登場していました。

　「垂線」というのは、ある直線と直角で交わる直線のことを意味しており、さきほどの直方体であれば直線ABの垂線は直線AEや直線BFなどが挙げられます。直方体においては、交わっている2直線はお互いがお互いの垂線の関係になっています。この垂線の定義を踏まえれば、共通垂線とは、両方の直線に直行で交わる直線、つまりこの入試問題の定義と全く同じであることがわかるでしょう。

　このように聞くと、おそらく多くの人が、「そんなに頻出な問題なら、話題にはならないのではないか」と思うことでしょう。しかしこの問題の肝は、「1つしかないこと」を証明する部分にあるのです。つまり、この問題で存在すると言われている直線について受験生はみんな知っているが、ほかにこのような直線があるかどうかは議論されてこなかったのです。

　有名な単元でありながら、多くの受験生を悩ませる「盲点を突く」ような問題が出されたことに、僕は感動すら覚えました。

　この「ねじれの位置」の考え方は、世の中のあらゆる場所にあります。その最たる例が、「高架駅」です。高架駅とは、プラットホームや改札をはじめとした駅の設備が高架の構造物上に存在する駅のことであり、代表的なものだとモノレールの停車駅などが挙げられるでしょう。

　高架駅を一度イメージしてもらえるとわかりやすいと思うのですが、これは道路とは交わることがなく、方向によっては平行にもならない向きに線路が走っています。よって、高架駅の線路と地上の道路はねじれの位置になるのです。

　皆さんは、「連続立体交差事業」という言葉を聞いたことはありますか？　これは、もともと地上にあった線路を高架や地下に切り替え、道路と線路が立体交差をしている状態をいくつかの駅にまたがって新設する事業のことを意味します。

　もちろん、この工事には莫大な時間と労力と資金がかかります。しかし、今この事業は東京の京王線や、名鉄名古屋本線、京阪本線など全国各地で幅広く進められているのです。

■道路と線路を「ねじれの位置」にする目的

　道路と線路を「ねじれの位置」にする目的には、「渋滞緩和」と「事故防止」の2つが挙げられます。

　道路と線路が地上で交差する場合、そこに踏切が設置されます。電車との衝突を防ぐために、余裕を持って踏切の遮断機は下ろされます。すると、場所にもよりますが長い渋滞の原因となってしまうのです。

　事故防止の観点も非常に大きいことが推察されます。国土交通省のデータによると、鉄道事故のおよそ9割が踏切とその付近で起こっているようです。その事故を、道路と線路を立体交差に、つまり「ねじれの位置」にすることで解消できるのであれば、推し進めるべきだという意見も納得できるでしょう。

　駅の高架化は、渋滞や事故の解消だけでなく、騒音問題の解消や排気ガスの削減にも大きくつながります。ねじれの位置は、思いがけない形で世の中に役に立っているのです。

永田耕作 :現役東大生・ドラゴン桜チャンネル塾長

( 144279 ) 2024/02/29 14:43:28

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・「こういう数学の本質や定義を聞くような問題」の出題はすごくいいと思う。簡単だけど、以外とそれをきちんと押さえているか、というと、問題が解ける生徒でも説明できなかったりする。「ねじれの位置」の認識を誤って「平行でも垂直でもない２直線」と思っている生徒も少ない内。共通テストや他の大学でも、このような数学の定義や本質を聞くような問題が出題されることを期待する。

・この問題の厄介なところは、ｚ座標ｚ１（任意に動かせる定点）とそれを通るLを自分で決める事に気づくこと。すなわち数あるねじれ位置にある直線のうちの一つＬを決めればz軸への垂線はLの方向ベクトルとz軸の方向ベクトルの内積0とｚ座標の値ｚ１から決められる。するとｚ軸とＬとに垂直で自分で与えたｚ１を通る直線が1本決まる。

ところがこれを読み違えるとz軸を法線とする平面が無数に存在し（例えばxy平面、これを上下に動かせば無数になる。z1を決めれば平面は1つに決まる）、さらにその平面上の無数の直線はすべてz軸とねじれの関係にあり、そもそも証明する直線が一本に決まらない。

言外に与えられた（自分で決める）条件を明確にしないと解けない問題。

・ゴリゴリ文系の妻は、学生時代に『ねじれ』の定義を学んだ際、とても切ない気持ちになったそう。平行でもなく、決して交わることもない2つの直線の関係・・・色んな感情が頭を巡り、授業どころじゃ無くなったと言っていました。

理系の私には理解出来ませんでしたが、そんな感受性豊かな彼女は、今は心理学者として大学で教鞭をとっています。適材適所だなと感じています。

・東大の有名な過去問「円周率＞3.03を証明せよ」みたいなもんで、定義をちゃんと理解しているところから議論が始まるってタイプの問題は増えると思う

小手先の難しい計算を試すより、数学の考え方を分かっているのかどうか、をシンプルに判断できるからね

まぁ難しい計算をさせる意図も実際にはある。例えば医学部で「難しい処置や手技を丁寧に迅速に取り組める」素質があるかどうか確認するために出すとかね

・別にねじれの位置という言葉を知っているかを聞いているわけではなく，ねじれの位置にある２本の直線両方に垂直な直線がただ一つ存在することを証明するという，おそらくベクトルを使う問題でしょう

存在することを示すのは難しくないと思われますが，オンリーワンの証明が大変かも

・記事にある大阪大の問題は「空間（座標）上のねじれの関係にある二直線L、Mがある。L、Mの両方に直交する直線はただ一本しかないことを示せ」だった。

記事にはないが今年の共通テスト数学のベクトルでも（書いてはいないが）ねじれの二直線が題材になっていて、最後の問題は「それぞれの直線上の点を結んでできる線分の長さの最小値は」だった。

この二問の図の関係はほぼ同一で、もしかしたら大阪大は共通テストの問題を見てから作問した可能性があると思っている。何せ、二行しかかからない上に、悩まずに出題できるからだ。なお、京大はこれらよりやや複雑なので分からない。

一般に難度の高い大学になると「広く学ぶ」学生を欲する。共通テストが終わったから忘れ去ろう、と考えて見直しをしない受験生よりも、する受験生を好むのは当然のことで、しかも阪大の問題は数学の根本に意識を持てているかも問うている。いい挑戦状だと感じた。

・京大や阪大を受ける子なら、「ねじれの位置」なんて普通に知っているでしょう。３流私大を数十年前に卒業した自分でも知っているのだから。

阪大が出した問題は解けないけどね。まぁ、ねじれの位置の２本の直線を最短距離で結ぶ線分を含む直線は1本しかないし、その直線は２本の直線と直交していると思うんで、その感じで証明をしていくのかなと思うけど。

・数学塾講師です。ｌとｍの両方に平行な平面（ｌとmの両方に垂直なベクトルを法線ベクトルとする平面）を導入して考えると、l上の点とｍ上の点の２点を

結ぶ方向が、法線と同方向になるのは１つしかなく、その大きさは２平面間の距離であることがイメージしやすいです。

「ふじ数学教室」のブログに解答例をのせてますので、興味ある方は参照ください。

・数式を用いた証明はここではできないけど、直線lとmを法面ベクトルと考えて、これに垂直な面を2つ考えると、その2つの面はどこかで必ず交叉する。面が交わるとき、必ず1本の直線ができる。

という流れで説明すればいいのかな？

・難関大であるほど、定義を掘り下げた問題を出してくるし、それが難しい。かつての東大の円周率のように。多くの高校生が高１で数学に挫折するのは、序盤の単元にある「絶対値」でつまづくから。定義や場合分けなどと向き合う高校数学が本格的に始まるのが、この絶対値から。

・面白い問題が出題しましたね。ねじねかぁ。これを難しいと思う人は、そもそも何故、ねじれの位置というものがあるのか。表面ではなく内面的なものから、歴史的観点で眺めるとよくわかると思います。数学は元々、哲学から生まれた大切な学問であるということ。テクニック(技術)が必要なんですよ。単なる暗記ではダメだと言うことですね。

・中学を出て４０年ほど経つ文系ですが、これはすぐ証明が思いつきました。ねじれの位置と平面と直線と並行・垂直の定義を正しく理解していれば、短時間で回答できる良問だと思う。ただ、数学好きが美しい証明にこだわると、意外と時間をとられるだろうな・・・

・学校の勉強が社会に役立つってこういう事

ねじれの位置がわからないと鉄道高架化の本当の意味がわからない

テストの為に勉強するのではなく人類の幸せや安全安心の為に勉強する訳

この事例は非常に興味深い

・はるか昔に中学校で習った時、平行な面同士の中に引いた直線、というイメージで理解したのですが。部屋の天井と床みたいな関係で。天井と床に引いた任意の直線が１点で交差する（高い所から垂直に透視して）時、その交点を縦に結んだ柱が一本だけできるみたいな。

数学的証明はできません（笑）

・3次元の中でのねじれの位置。

大学なら4次元でのねじれの位置を問う問題の方が面白い。

選択問題で良いけど。

だから出会いは大切にしないとね。

・実際にどんな問題だったのかが判らないんだけど、なぜ立体交差を取り上げたのか？

東日本大震災で常磐線の一部区間が路線変更されたのに伴って高架化されたけどどちらかというと過疎気味のエリアで、コストパフォーマンスが悪すぎる

来宮一件なんかホームの一端をスロープにして構内踏切を設ければ駅員が苦労して車椅子をおろすこともなかったのに

ハッキリ言って立体交差は時代遅れなんですよ

さて護衛艦1隻分の予算しかない沼津立体は出来るんですかね、8割を用地費に使っちゃったらしいけど

貨物駅と車両基地を移して終わりで、空き地は都市機構に丸投げ？

土地転がしが目的だったんじゃないのこの事業は

・社会に出て有名国立大の人は有名私学の人にない知性を持っているなと感じることが多いが気のせいじゃないかな。

ペンローズの三角形ってねじれの位置なのかな。

・ねじれの位置とは、英語ではtwisted position またはskew positionらしいですね。（全然おもしろくもない直訳でした）

恐らく、今の政府と我々国民の関係を表す、時事問題とのアナロジーでは？

京大も阪大も出題ということですよね。両大学の数学者なら、それくらいのアナロジーを持っていそうです。

数学も「時事問題」ですか（笑）。

・なんとなくだけど、

ねじれの位置が存在しない→1つは存在する

2つ以上ある→ねじれの関係から矛盾

って形で背理法で攻めるべきなんだろうな。

・これもだけど、高校数学で忘れたころに相似を使った図形問題が出てくるとちょっと焦る

・プロ野球選手が、剛速球は打ち返すことができるけど、逆にスローボールは難しいと同じかもしれませんね。

・直線ではない道路と線路の話を持ち出したら余計ややこしくなるから適切な例えではない。

・＞道路と線路を「ねじれの位置」にする目的

なるほどねー。こういうのを教えたらもっと算数とか数学に興味を持つ子が増えると思いますね。

・この程度のことも分からない私立大卒が「有名大卒」「高学歴」と紹介されるのがテレビなわけです

・超難関大学でこういう出題するのは良いかもしれませんね。

・今年の阪大は、国語で評価を下げ、数学で名を上げた感じですね。

・3.10<円周率＜3.20　　の証明問題って、良い問題だと

思う。

・私文の英国社マークシート入試とは、偉い違いだな。さすが旧帝。

・まぁちょっと前動画で流行ったからそれに乗ったのかもね

・定規忘れた人もなんとかなりそう

・真心の曲でも出されたかと思った。

・ただのボーナス問題やん

京大も阪大も今年「ねじれの位置を出題」で衝撃が走った理由 多くの受験生はノーマーク、SNS上で大盛り上がり

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