( 187453 ) 2024/07/04 17:05:40 2 00 18÷0=「0」は間違い？東大生が教える納得の解答 難しい知識がなくても理解できる「関数の極限」とは？東洋経済オンライン 7/4(木) 12:32 配信 https://news.yahoo.co.jp/articles/08f79f2f993c053287e99800212fe9fcacf8ead5 |
( 187456 ) 2024/07/04 17:05:40 0 00 （写真：genzoh／PIXTA）
数学を使って世の中の仕組みを知ることで、物事を見る視野が広がります。現役東大生の永田耕作さんが数学の魅力について解説する連載『東大式「新・教養としての数学」』。今回は「関数の極限」について解説します。
■数字は本当にゼロで割ることはできない？
皆さんは、小学生から「数字を0で割ると答えはどうなるの？」と聞かれたとき、どのように答えますか？
今の学習指導要領では、小学3年生で「割り算」を学習します。例えば「10÷5=2」という計算であれば、「10」が「割られる数」であり、「5」は「割る数」と名前がつけられています。この「割る数」が「0」である計算は成立するのかどうか。おそらく多くの人が一度は疑問に思ったことでしょう。
先日、とある小学校の算数のプリントに関するXの投稿が話題となりました。その内容は「18÷0の答えはいくつになるか」というものでした。投稿者のお子さんが「答えなし」と回答したところ、先生にバツにされて、答えがゼロと言われたそうです。
それに対して、「数字を0で割ることはできないはずだ」「答えは0にならないので、この採点は間違っている」という意見が相次ぎました。
電卓やスマホの電卓機能を用いて確かめてほしいのですが、「18÷0」のような割る数が0である割り算の答えは「エラー」や「計算できません」という表示となります。
では、「数字は0で割ることはできない」で終わる話なのでしょうか。この問題はそこまで単純なものではありません。
数字を0で割るとはそもそもどういうことか。割り算の定義から考えてみましょう。四則演算(足し算・引き算・かけ算・割り算)の1つである「除法(割り算のこと)」は、乗法(かけ算)の「逆演算」であると定義されています。これは、
かけ算 2×3=6
割り算 6÷3=2
と並べて見てみるとわかりやすいでしょう。つまり、例えば「18÷3 =？」という問題であれば、その逆演算であるかけ算を考え、
3×●=18(あるいは●×3=18) という式の●に何が入るかを考えるといいのです。小学生が割り算を教わる際の教科書などでもこのような計算の順序で説明されることが多いです。
■18÷0の解答はどうなるのか？
この考え方にのっとり、「18÷0」の計算を考えてみましょう。この逆演算は、
0×●=18(あるいは●×0=18) の●の中身を考える計算となります。ここで、「0は何倍しても0」という「0(ゼロ)」の定義を用いると、●にどんな数字を入れてもこの式を成立させることはできない、とわかります。
ここまでは、おそらく皆さんの想像のとおりでしょう。そして、この例示している「18」という数字が「3」や「10」など、どんな数字であっても同じ議論になるように見えます。
しかし、1つだけ例外があるのです。それは「0÷0 = ？」という問題である場合です。
「0÷0=●」に対しても、対応する逆演算(かけ算)を考えてみましょう。今回の場合は、
0×●=0 (あるいは●×0=0) の●の中身を考えることになります。ここで、先ほども述べた「0は何倍しても0」という定義を踏まえると、先ほどとは真逆のパターンで、●にどんな数字を入れても式が成立する、となるのです。
つまり「数字を0で割る」という計算はすべて同じ結果になるように見えて、「割られる数が0であるかどうか」で2種類に分かれるのです。
これを、数学用語を用いると、
A÷0 = 不能(A≠0) A÷0 = 不定(A=0) と表すことができます。ここでいう「不能」とは「解を求めることができない(存在しない)」という意味であり、「不定」とは「解が1つに定まらない」という意味です。
どちらにせよ解は存在しないため、「答えなし」「エラー」という表記が正しいのですが、厳密にいうと「0÷0」と「3÷0」の答えは違うものなのです。
■高校の「数学Ⅲ」で学ぶ「関数の極限」
さて、ここまで「18÷0」という具体例を挙げながら、「数字を0で割る」ことの定義について説明しました。しかし実は、この問題を理系の高校生や大学生に聞くと、「答えは∞(無限大)である」と答えられることがあるのです。
現在の学習指導要領では、高校数学は「数学Ⅰ」「数学A」「数学Ⅱ」「数学B」「数学Ⅲ」「数学C」の6つの科目に分かれています。そのうち、数学Ⅲ・数学Cは選択科目であり、理系を専攻した学生が学ぶものとなっています。
この数学Ⅲの中に、「関数の極限」という単元があり、実はここで「数字を0で割る」という演算に対しての1つの答えが示されているのです。
「極限」とは、「変数を限りなく近づける」という考え方です。例えば、xを3に近づけたときに、「f(x) = x+3」という関数の値は「3+3」で「6」に近づくことが計算によってわかります。これを、「lim」という記号を用いて、
lim(x→3) x+3=6 と表すのです。この例だけを考えてみると、「わざわざ、そんなめんどくさい書き方しなくても、x=3のときx+3=6でいいじゃないか」と思う人が多いでしょう。
しかし、この極限の考え方は、変数や関数の値が「0」に近づくときにその真価を発揮するのです。
極限「lim(x→0)」を考えてみましょう。これは、xが限りなく0に近づいていく、という意味です。このときに、関数「f(x) = 18/x」はどのような値を取るでしょうか。
xを少しずつ小さい値にして確かめてみると、
x=1:f(x) = 18
x=0.1:f(x) = 180
x=0.01:f(x) = 1800
x=0.001:f(x) = 18000
X=0.0001:f(x) = 180000
と、関数の値がどんどん大きくなることがわかります。これを永遠に行うと、億、兆、京と位が上がっていき、最終的には無限大になることが予想されます。これを数学用語で、「無限大に発散する」と言います。
気づいた人もいるかもしれませんが、これはあくまで「xが正の値から0に近づくとき」に限定された話をしています。
■マイナスのパターンだとどうなる？
これとは逆のパターンの、xがマイナスの値から近づいていく場合も考えてみましょう。その場合は、
x=-1:f(x)=-18
x=-0.1:f(x)=-180
x=-0.01:f(x)=-1800
x=-0.001:f(x)=-18000
X=-0.0001:f(x)=-180000
となり、どんどん大きなマイナスの値になることがわかります。これは、「負の無限大に発散する」と表されます。
この考え方を用いると、「18÷0はいくつ？」という問いに対して、また新しい答え方ができるようになるでしょう。
もちろん、この考え方をすべて小学生に説明するのは非常に難しいことです。高校3年生になってやっと学習するようなことであるため、それは当たり前でしょう。
しかし「0で割ることはできないんだよ」の一言で終わらせてしまうのではなく、「0で割るって、どういうことなんだろうね？」と疑問を投げかけて、子どもの思考力を育むということが最終的にその子のためになるのかもしれない、と僕は考えています。
永田 耕作 :現役東大生・ドラゴン桜チャンネル塾長
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( 187457 ) 2024/07/04 17:05:40 0 00 ・正答は記事の通りだし，児童の「こたえなし」で出ている。問題は先生のほうの「こたえなしは誤答」「正答は0」とそれ以前に１８÷0を出題してしまったこと。 そして，ここまで話題になったのに，文科省も対応していなさそうなことが大問題。文科省は公開通達という形で，全国の先生に同じ過ちをしないようにしながら，今までの間違いを修正し，報道に乗るようにしたほうがいい。今やれば今後国民が個別に数学的に完全に間違った１８÷0＝0をやらずに済む。ある意味チャンス。 ・義務教育課程では自然数÷０は扱わない。 ・誤って出題したときはいかなる解も誤答や減点扱いは禁止。 ・「こたえなし」「不能」などの正答に対する加点・+評価は可。 ・自然数÷0は0ではない。元の自然数でもない。
あと，市販プリント素材だとしたら，製造社は名乗り出て詫びて修正したほうがいい。それが無いなら文科省から使用禁止メーカーに指定してもいい。
・小学生（算数）の回答として「答えなし」が正解というところまでは良かったのですが、 「極限」の概念で解答を求めるのは残念ながらよくある間違いです。
割る数をどんどん小さくしていくと「0に近い数」になりますが「0」にはなりません。 だから、どんなに小さい「0に近い数」でも見合った「大きな実数」が答えになるのであって、「無限大」は導かれません。 極限式は、「1/x」「xが無限に小さくなっていく（x→0）」としたときに「∞（無限大）に発散する」という概念を表しているだけす。 この問題はあくまで代数式なので、勝手に極限式だと解釈して「1/x=∞」という代数式を成り立たせてはいけません。
一番の問題は、他の方も指摘しているとおり先生の「間違った教えでも考えずに受け入れろ」という教え方にあるので、算数や数学的な議論よりもそっちのほうで東大生のような知性と教養のある方の批評を聞きたいものです。
・高校ではやれますが、これは小学校ではやってはいけないことになってます。 簡単に言うとa÷b=cをたしかめ算するとc×b=aになりますよね。もし18÷0=0ならば 0×0=18になってしまいたしかめ算が成り立たなくなってしまいます。だから小学校では答えなしが正解です。 もっというとその先生は割り算を理解していないのかもしれませんね。
・極限を出してくるのは、少しずれてる気がする。 右極限lim(x→+0)18/x=∞と左極限lim(x→-0)18/x=-∞が一致しないことと、x=0で定義できないこととは話が違うと思う。実際、右極限と左極限が一致してても不連続であることはざらにあるので（除去可能不連続点）。 そうではなく、割り算の定義から説明すべき問題ではないか。 割り算の定義「bc=aが成り立つようなc∈ℝ（ℂで置き換えてもよい）をa/bとする」から、18/0=cとなるc∈ℝが存在すると仮定すると、0c=18。任意の実数x∈ℝに対して0x=0だから、前の式を満たすc∈ℝは存在しない。 尚、0x=0については、0の定義、逆元の定義、結合法則、分配法則から、 0x=0x+0=0x+(0x+(-0x))=(0x+0x)+(-0x)=(0+0)x+(-0x)=0x+(-0x)=0
・小学校のドリルは普通業者テストを利用する。そうじゃないとこの手のテストを１日６時間分準備しなければいけないので、まず自作のモノを使うのは不可能だし非効率だ。すると業者テストに0÷18の問題が書かれていたということになる。当然この業者テストには回答が書かれていたので、それを見ると良いだろう。そこには、計算できないと書いていないと想像できる。そもそも小学校の範囲外だ。業者が間違って問題を出したということだろうな。
・例えば１という数字は人間なら一人だし、石なら一個だし、水の体積なら例えば１リットルになり、それぞれが異なるものを表わす。
ところが、ゼロというのは、何に対しても（人間を表わすにしても、石を表すにしても、水の体積を表わすにしても）同一の「状況」になってしまう。 そして無限大も決まった数値ではなく、ただ決まった数字として表せない大きな「状況」のことと規定している。
つまり、ゼロや無限大というのは「数値」ではなく「状況」を表わしている。 なのに、ゼロも無限大も数学に組み込まれてしまっているために、記事にあるような、18÷0とか0÷0とか、他にも∞×５（何でもいいから数値）だの、果てには0×∞だの0÷∞みたいな計算式が出てきてしまう。
つまり、ゼロ（や無限大）を数学に取り入れてしまったこと自体が「矛盾」の原因である。
という考え方もある。
・この問題の本質は数学的な話ではなく、ゼロ除算で「答えなし」と正しい解答をしたのにバツをつけた教師の姿勢なんですよ。 正しい解答にバツつけたら教師不信につながるし、もしバツをつけたのならなぜバツなのかを教師が子供に向き合って説明できたのかなんです。
・個人的には、これがこの問題のヤバさを簡単に説明できていいと思っている a、bをそれぞれ異なる自然数とすると a/0=0ならば、b/0=0とでき a/0=b/0が成立し、a=bが解となる・・・おや？ 数学が簡単に崩壊するような屁理屈を起こせる間違いは改めて欲しいですね
・別に極限の理論なんて東大生でなくても説明できるし、小学生でも理解できる。全国的に見れば、そりゃ、たまにはテスト問題間違ってることもあるだろ。新聞でも誤字脱字なんて結構あるし、ネットニュースなんて、誤字脱字だらけ。たまたま、小学校の出題ミスが世に出たからって、こぞって叩きまくるのってどうかと思う。一所懸命解なしの理論こねてるの逆にバカっぽいよ。誰でも知ってるって
・オームの法則 I＝E/R で導体を絶対零度まで冷却して超電導状態にすると抵抗が０Ωになします。この時 I の値は？０ですか？
この理論を利用してリニアモーターカーは大電流を発生させて動いています。 これはどう説明するのですか？
頭の固い数学の世界ではないかもしれませんが物理の世界ではあり得るんじゃないですか。
・年少者でも頭の良い人はいるから、そういう人が自主的に考えるのは良い。 でも小学生のテストとしてみんなに出して、「答えなし」の回答をバツにするのを教師がやってはいけない。
・負数の平方根も実数では解なしだが 虚数の概念を使えば演算することが出来る
ゼロ除算も新概念が定義されて 演算出来るようになるのかな
・割り算と極限は別の概念なので、0で割ると無限大になるとかは 全くの間違いです。高校でもそういうふうに習うことはありませんし、 実数なら大学でもありえません。
・幼かりし頃？割り算を教わった時「０で割ってはいけません」と言われたように記憶しています。割り算の基本事項なのでは。・・解なしが正答に賛成。
・>「0で割ることはできないんだよ」の一言で終わらせてしまうのではなく、「0で割るって、どういうことなんだろうね？」と疑問を投げかけて、子どもの思考力を育むということが最終的にその子のためになるのかもしれない、と僕は考えています。
残念ながら、小学生の思考力でそんなのを考えさせても無駄だよ。 いい加減、小学生の能力を過大評価するのはやめませんか？
・やめろ極限を混ぜるな。極限はどこまで行っても0に限りなく近い数字であって0そのものにはならん。1÷∞の答えは0じゃなくて0に限りなく近い正の数字だわ。
・おお！続けますねえ。極限まで踏み込みますか？ それでは問題を2つ。1/1+1/2+1/3+1/4+・・・の極限は？ 同じく、1/1**2+1/2**2+1/3**2+1/4**2+・・・の極限は（〇**2は〇のの2乗を表す）？前のはオレームの問題、後ろのは高校数Ⅲの教科書に載っている。
・個人的にはＡ÷BはAの中にBが何個入るかってことで理解しているので、Bが０だと何個でも入る、つまり無限大と考えるようにしてる。それ以上難しいことは私の知能では理解不能です。
・0個のものを10人で分けようとしたら0個になるが、10個のものを0人に分けるとしたらどこにどのようになるかわからなくなる…というような説明はダメですか？
・だからといって、「東大卒」というだけで、頭いいとは限らないよ。数学的に強いなら京大なんだけどな。
また、数学に強いインド人に聞けば?と思ったよ。
・昔、高校で２次曲線と交わる直線の２点の距離をできるだけ０近づけるというような勉強をした気がする。
・解なしですね。
無限大だろうという人もいるが、マイナス無限大の可能性もあり、どちらともいえないので、解はないんです。
・小学校の先生は数学の専門家ではないしそんなもんでしょうね。 しかし、回答は「解なし」が正しいと思います。
・東大数理の佐久間という人のXのポストが、数学的にさらに正確な解答なのではないかと思う。
・ゼロ除算は極限を使って説明しようという試みは、あくまでも感覚に訴えようという試みであり感心しない。
・中学の時数学の試験で出た記憶が…。「解無し」が正解でしたね。ゼロについて学びました。
・極限を使うことに物申してる人がいるけど、 lim(x→+0)1/x≠lim(x→-0)1/x から、1/0は解なし。 って話でしょ？
・この話題って、まだまだ続くのかな？ o***s**7さんがコメントされていることがすべてだと思うのですが・・・ 記事もコメントも同じ話を延々ループしている感じです。
・小学校では、0では割れません、解無しで十分ですね。極限まで教えなくてもよいです
・本当に数学はめんどくさいし講釈や理論が嫌になる 好きな人は楽しいみたいだが算数・数学死ぬほど嫌いな教科だった
・小学生にわかるかどうかは別として、 18/0（0分の18）と書いたら正解ですか？
・小学校で0で割るような出題をする時点でそもそもおかしい
・0割・・・ プログラマーならみんなこの怖さは骨身にしみてると思う。
・算数レベル、中学、高校、大学それぞれの数学レベルでの解説がYouTubeに
・答えが無限なら答えなしも正解じゃないの！？
・中学の時に習ったが、不能にクスクス笑いが漏れた。
・分数で回答すればええ
・私の妹ベテランの小学校の教員なんですが、最近男性教師を必要としているせいか信じられないくらい算数バカが、教師になっているそうで怒っています。 信じられない例は 2/3+3/4=5/7 と平然と答えるそうです。
おそらく18÷0=0と教えた教師は典型的な算数バカ教師で、ここで言われている無限大の議論なんぞついていけない教師だと考えられますね。
・この低能教師に2つの計算をさせたら、どちらもゼロと回答するのかな。 18÷0= 0÷18=
小学生に劣る認知力で教員免許を得られる制度が間違いなのでは？本当に教師は教えるだけの力量は担保されてるのか？こんな教師がいる時点で、明らかに担保するなんてムリだろ。
・別に東大生に聞くほどのこともないよ バツつけた先生がアホなだけでしょう 割り算は”割られる数の中に割る数が何個あるか？ いくら端数がでるか？” だから、割る数が0だと0を何回足しても0以上にならないんだから答えなし、と説明すればいいんじゃない
・あのさこう言うコジツケ記事とか話題とか時々有るんだけどさ ルールはルールな訳 分かるかな？ だから今は0で良い。何も考えなくて良い。 ルールの変更が有った場合に変更すれば良い。 頭悪い奴がこの様な記事を読むと真に受けるよ。
・どちらにしても馬鹿な先公は馘首にすべきです。余りにも基本的な事を知らない無知な，ただ先に生まれただけの先生が多すぎる。
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